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Dans cette séquence nous allons aborder le
transport de charges c'est à dire l'électricité,

le courant électrique. Et nous allons regarder
cela est modifié lorsque les conducteurs

sont de l'ordre de grandeur de quelques dizaines
ou centaines de nanomètres.

On va voir qu'il y a des modifications tout-à-fait
significatives, et également des effets essentiellement

quantiques qui vont apparaître.
On va partir tout d'abord de l'exemple le

plus simple et le mieux connu du transport
de l'électricité, la loi d'Ohm, qui caractérise

le courant et qui le relie à la tension appliquée
à un conducteur. Cette loi s'applique à

n'importe quel fil électrique ou n'importe
quel composant de type résistance. On parle

de résistance ohmique, et j'ai donc représenté
cette résistance ici sur ce schéma. J'introduis

la longueur L de cette résistance, et on
sait que si on applique une tension V, alors

il y aura une intensité I telle que V=RI.
La résistance est donnée par une formule

, à ma grande surprise j'ai constaté que
tous les étudiants la connaissaient parfaitement

bien, je suppose que c'est probablement le
cas de vous qui regardez cette séquence,

la résistance est le produit de rhô, qui
est la résistivité du matériau, c'est une

caractéristique du matériau, et puis le
reste, c'est la géométrie du dispositif,

de la résistance considérée, L la longueur,
S la section.

Sur cette formule toute bête, on voit tout
de suite quelque chose qui peut poser problème,

c'est que si la longueur tend vers zéro,
alors la résistance devient nulle. Si la

résistance devient nulle, pour une tension
quelconque, mettons 1 Volt, eh bien l'intensité

devient infinie. Cette formule, elle prédit
que l'intensité devient infinie, et ça,

c'est un peu surprenant.
En fait, il n'en est rien, et à partir d'un

certain moment, d'une certaine valeur de L,
la résistance va acquérir une valeur et

va cesser de décroitre, et cette distance
caractéristique c'est le libre parcours moyen.

Là on va rentrer dans un régime de transport
complètement différent, qui est ce que l'on

appelle le transport mésoscopique.
Je voudrais d'abord dire que avant de rentrer

dans ce régime, qui apparaît donc pour une
distance qui est le libre parcours moyen,

qui a déjà été évoqué précédemment,
et qui est justement de l'ordre de quelques

dizaines ou centaines de nanomètres, ça
dépend de la température, ça dépend des

matériaux, mais c'est typiquement quelques
centaines de nanomètres.

Le transport à ces échelles pour des longueurs
supérieures à ces centaines de nanomètres

reste habituel mais on a quand même cette
intensité extrêmement grande. Donc aller

vers des systèmes de petite taille qui commencent
à approcher des distances submicroniques,

va déjà avoir des intérêts extrèmement
importants, parce que les intensités très

grandes peuvent donner lieu à des phénomènes
que l'on n'observe pas autrement; c'est notamment

le cas de tous les effets couplés de
type thermoélectricité par exemple.

Maintenant, on va essayer de comprendre ce
qu'il se passe lorsque le système est plus

petit. Tout d'abord je vous rappelle ce qui
a déjà été évoqué précédemment, lorsque

la taille du système est grande, ce que l'on
représente sur la figure du dessus, un électron

va subir beaucoup de collisions, et l'image
d'une boule de billard qui se propagerait

dans un tuyau en subissant beaucoup de collisions
est tout-à-fait correcte. La physique, d'ailleurs,

du transport de chaleur en régime loi de
Fourrier avec des molécules dans un gaz,

qui subissent énormément de collisions,
et qui emportent leur énergie cinétique,

est tout-à-fait analogue et la loi de transport
de chaleur est tout-à-fait analogue à la

loi de transport d'électricité. La loi d'Ohm
égale la loi de Fourrier.

Alors, sur le schéma on voit bien que si
la longueur du fil devient plus petite que

ce libre parcours moyen qui est représenté
en bleu, qui est la distance moyenne entre

deux collisions, l'électron va entrer, il
va aller tout droit, et il va sortir. On parle

de régime balistique. Et lorsqu'il y a ce
régime balistique, on ne voit pas pourquoi

il y aurait une résistance. Tout ce qui rentre
va traverser, on a l'impression qu'il n'y

a pas de résistance, que rien ne s'oppose
au transport de courant. Et pourtant, il y

a une résistance, que l'on peut mesurer et
qui est tout-à-fait significative.

Un conducteur parfait, au sens où il y a
zéro collision, va néanmoins provoquer une

résistance. Alors, d'où est-ce que cela
vient ? Il y a ici un résultat expérimental

qui a été observé sur des contacts atomiques
entre un fil d'or et une surface d'or. Sur

le principe, en tout cas, l'expérience est
simple, sur la réalisation il faut prendre

beaucoup de soin. On a ici une pointe d'or,
un fil, une surface d'or, on va approcher

la pointe sur la surface. L'or est mou, et
en fait ce qui va se passer, c'est exactement

ce qui se passe lorsque vous mettez un bâton,
une pointe, dans de l'eau, en tirant, il va

y avoir un ménisque qui va se former.
c'est ce qui est représenté sur la gauche,

donc, on va tirer très très doucement, à
typiquement des picomètres par seconde, on

colle la pointe sur un cristal piézoélectrique,
on applique une tension sur le piézoélectrique

pour contrôler ce mouvement, et donc peu
à peu, le contact ici va faire en sorte que

les atomes d'or vont venir faire un petit
peu comme un ménisque d'eau et puis il va

y avoir un point de rupture. On va avoir donc
cette espèce de ménisque qui va être de

plus en plus petit, comme représenté sur
la figure, donc vous voyez qu'il va y avoir

un moment où on aura deux atomes par lesquels
passe le courant, puis plus qu'un seul fil

monoatomique et puis enfin rupture.
Si on fait une mesure de la résistance électrique

associée, on trouve ce qui est représenté
sur le graphe du dessous, donc c'est l'inverse

de la résistance qui est représenté, c'est
la conductance, en abscisse c'est la tension

électrique appliquée au piézoélectrique
dont je parlais, donc en fait tout simplement

la distance avec laquelle on tire sur le système.
Donc vous voyez qu'en partant du contact pour

une tension zéro, on applique la tension,
on éloigne la pointe, eh bien on va réduire

la taille du fil et donc la résistance va
augmenter et ce qui est représenté, c'est

la conductance, donc l'inverse de la résistance,
qui diminue.

Alors les valeurs ne sont pas très parlantes,
elles sont données en unités 2e2/h, où

e est la charge de l'électron et h la constante
de Planck. 2e2/h, son inverse est une résistance,

ça fait 12,9 kiloohms. Donc c'est quelque
chose qu'on peut mesurer avec n'importe quel

ohmmètre du commerce. C'est totalement quantique,
c'est donné en fonction des constantes fondamentales

de la physique, et ça fait une mesure que
vous mesurez avec un ohmmètre.

Il y a résistance parce que l'on considère
un chemin de conduction qui passe par une

seule colonne d'atomes ou quelques colonnes
d'atomes. Bien sûr, si on écrase la pointe

au lieu de la tirer, la surface de contact
va augmenter et à ce moment-là la résistance

est beaucoup plus faible. Alors on va essayer
de comprendre d'où ça vient, cette résistance,

j'ai représenté sur le bas de la figure
ici en rouge, un petit schéma qui décrit

ce qui se passe, on a deux pavés rouges qui
sont les deux contacts électriques et puis

entre les deux ce petit trait symbolise ce
fil monoatomique d'or par lequel on fait passer

le courant. Ce fil est parfait, il n'a pas
de défaut, les atomes sont à la queue-leu-leu,

les électrons se propagent dans ce système
sans subir de collision, il n'y a pas de collision

quand un électron se propage dans un réseau
périodique d'atomes, et pourtant il y a de

la résistance, et c'est cela qu'on veut comprendre.
On modélise le système en représentant

les deux électrodes par le diagramme d'énergie
en haut, en bleu vous avez les bandes de conduction

des métaux, tous les niveaux d'énergie sont
remplis jusqu'au niveau d'énergie le plus

élevé qui est l'énergie de Fermi. Et puis
si on applique une tension, on va changer

le niveau d'énergie d'un deux des conducteurs
par rapport à l'autre, ce qui est représenté

ici. On applique une tension V, donc on a
un écart d'énergie eV.

Maintenant, essayons de comprendre comment
décrire ce système. Si on adopte le point

de vue qui consiste à dire qu'un électron
est un objet quantique, il est décrit par

une onde et cette onde va se propager dans
le fil et l'électron est confiné dans le

fil, donc l'onde est piégée, c'est un guide
d'onde, l'électron ne pas sortir. L'équation

de Schrödinger est une équation d'onde (c'est
une équation avec Laplacien de ψ). Et donc

on est dans une situation d'une fonction d'onde
pour l'électron qui est confinée. Donc on

a la situation d'un mode guidé. Si un électron
rentre dans le canal, alors l'état quantique

est occupé, on ne peut pas y mettre deux
électrons, en vertu du principe d'exclusion

de Pauli, et c'est ça qui va limiter l'intensité,
c'est le principe d'exclusion de Pauli.

On peut faire une estimation rapide de ce
courant, on va dire qu'il faut un temps delta t

à l'électron pour passer de gauche à
droite, donc chaque fois qu'un électron passe,

pendant un temps delta t, la quantité de
charges échangée c'est e, donc l'intensité

c'est e sur delta t. Quel est le temps nécessaire
pour traverser, on ne sait pas si l'électron

est à gauche ou à droite, et donc si on
utilise les incertitudes d'Heisenberg, s'il

est à gauche ou à droite il y a un écart
d'énergie qui est delta E, qui est eV, et

donc on en déduit delta t, le temps nécessaire
pour la traversée. On remplace tout ça et

on trouve que l'intensité vaut e2/h x V,
et on a trouvé ce quantum de conductance.

En réalité, ce n'est pas e2/h, on peut avoir
deux électrons simultanément, parce qu'ils

ont un spin différent, donc on peut, comme
pour les atomes, comme pour les niveaux d'énergie

dans les atomes.
Ce quantum de conductance vaut 2e2/h son inverse

est une résistance qui fait presque 13 kiloohms
comme je vous l'ai dit.