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[SON] Bonjour.

Bienvenue dans ce cours Aléatoire,

qui est en fait une introduction
à la théorie des probabilités.

Ce cours va être divisé en chapitres qui
eux-mêmes seront divisés en séances,

et donc vous pourrez vous retrouver
facilement dans l'organisation du cours,

puisque vous aurez à chaque
fois le nom Aléatoire,

le numéro du cours et
le numéro de la séance.

Donc, outre le cours qui va avoir
une succession mathématique logique,

vous aurez également des, quelques petites
séances de prérequis mathématiques

qui pourront vous être utiles,
des séances d'exercices corrigés

et également des questionnaires
à choix multiples,

pour vous assurer que vous avez bien
compris les notions élémentaires.

Donc, en fait,
dans cette première séance du cours 1,

le cours 1 qui va être consacré
au modèle probabiliste, je vais

vous présenter un peu une introduction
de ce que sont les probabilités,

puisque c'est peut-être une notion
que vous n'avez jamais rencontrée.

Donc, qu'est-ce que la
théorie de probabilité?

Eh bien, c'est une théorie mathématique
pour quantifier le hasard.

Donc, quantifier le hasard, et je vous
ai mis une jolie phrase d'un texte

d'un jeune auteur Hervé Le Tellier donc,

si on ouvre le dictionnaire au hasard,
et qu'on tombe sur le mot hasard,

c'est un miracle, et si on tombe sur
le mot miracle, c'est un hasard.

Et tout cela pour dire
que quantifier le hasard,

on peut dire que cela tient du miracle.

Et c'est sans doute pour cette raison
que la notion de, enfin, mathématiques,

les notions mathématiques pour quantifier
le hasard ont mis tant de temps à émerger.

Le hasard a quelque chose à voir avec
le divin, et quantifier le hasard,

cela voulait dire d'une certaine
manière affronter le divin.

Donc, on a peu de textes anciens
sur cette théorie des probabilités

qui a mis très longtemps à émerger.

Le mot hasard vient du mot az-zahr,
le dé certainement,

donc c'est très vraisemblablement
un mot d'origine arabe.

Et, dans des textes très anciens, on peut
trouver des traces d'une science des

jeux de dés, dans le Mahabharata, qui est
un texte indien célèbre du 4ème siècle,

et dans ce texte,
outre cette science des dés,

qui apparaît à travers
le pouvoir d'un Dieu,

donc là encore le divin apparaît
dans cette science du jeu de dés.

Cette science du jeu de dés
est associée à des évaluations

de nombres de feuilles sur des arbres,
donc des évaluations de type sondages,

et c'est absolument extraordinaire que
dans ce livre si ancien on ait pu trouver

cette association entre
probabilités et statistiques.

Alors après, je fais un grand saut dans
l'histoire de la théorie puisqu'en fait on

n'a pas de traces essentiellement de
développement des probabilités, et il faut

attendre en fait la frénésie des jeux qui
s'empare de l'Europe au XVIe et XVIIe

siècle pour voir vraiment une théorie des
probabilités se mettre en place peu à peu.

Donc, au XVIe siècle,
certains grands scientifiques,

en particulier très connus pour leurs
travaux en astronomie tels Cardan,

Kepler et Galilée, commencent à
s'intéresser à une théorie du jeu de dés.

Donc, au début c'est vraiment ces jeux de
hasard qui motivent les scientifiques.

Mais en fait, il faut attendre le XVIIe
siècle et Pascal pour que cette théorie

prenne vraiment ses lettres de noblesse.

Et Pascal était motivé certes par ces jeux
de hasard qui obsédaient l'Europe entière,

mais également par d'autres
problématiques peut-être plus sérieuses,

comme les controverses juridiques,

et il y a une grande correspondance
entre Fermat et Pascal à ce sujet.

Fermat est juriste à Toulouse, et se
pose des questions sur la probabilité

de se tromper quand on juge quelqu'un.

Du reste, cette correspondance
fait assez froid dans le dos.

Donc, Pascal développe une théorie, donc
cela est en France, mais il y a également

d'autres impulsions qui sont motivées
beaucoup dans les pays anglo-saxons

par des problèmes d'assurance,
donc problématique assez moderne.

Et, on voit certains travaux donc,

qui essayent de lier des calculs de rentes
viagères à des tables de mortalité.

C'est assez amusant de voir
qu'à l'heure actuelle,

les compagnies d'assurance se posent le
même type de problèmes, à savoir lier des

taux d'assurances à certaines structures
par âge de la population par exemple.

Alors, au 17ème siècle, on assiste aussi
au développement des statistiques.

Dans le mot statistique,
il y a le mot état, et en fait les États,

les gouvernements se rendent compte que,
grâce à ces statistiques en fait,

ils vont avoir un outil puissant pour
prendre des décisions ou pour les imposer.

Alors, en fait les probabilités,
comme vous le voyez,

se développent à partir de problématiques
très humaines, des problèmes concrets.

Mais en fait, au XIXe siècle se
développent des techniques d'analyse,

qui vont faire en fait que les
probabilités vont se développer d'un

point de vue beaucoup plus mathématique.

Et, grâce essentiellement à deux
apports d'analyse, premièrement le

calcul intégral et différentiel, développé
en particulier par Laplace et Gauss,

et deuxièmement, la théorie de la mesure
développée par Borel et Lebesgue.

Donc, nous allons utiliser pas mal
d'arguments de calcul intégral

dans ce cours, et on ne va pas
utiliser de théorie de la mesure,

au sens où quand on en aura besoin,

on construira nous-mêmes les objets
dans le contexte qui nous intéresse.

Donc, XIXe siècle et début du XXe,

les probabilités se développent
grâce à ces outils d'analyse.

Ensuite, à partir du XXe siècle,
il y a un vrai saut de difficulté

qui se met en place,
puisque jusqu'au début du XXe siècle,

en fait on essaye de quantifier et
de créer une théorie du hasard,

pour des expériences aléatoires,
j'ai envie de dire figées.

Mais à partir du XXe siècle,

on s'intéresse à regarder des phénomènes
aléatoires qui évoluent au cours du temps.

Donc, on va construire des nouveaux
objets probabilistes, qui ont

certaines propriétés, donc dans leur
dynamique en fonction du temps,

et en particulier ce qu'on
appelle des processus de Markov.

Et on aura trois grands
types de développement.

Un premier développement en physique
statistique, lié à toute, tout le

travail en particulier de Einstein et
sa création du mouvement brownien.

On aura des problèmes qui sont
issus des problèmes de démographie,

grâce à ce qu'on appelle la classe
des processus de branchement,

en particulier un processus qui
s'appelle le processus de Poisson.

Et, on aura aussi le développement d'une
théorie statistique et de la biométrie.

Donc, trois domaines qui vont se
développer tout le courant du XXe siècle.

Alors, il faut bien comprendre en fait
que cette théorie des probabilités,

comme je vous ai dit,
elle a mis longtemps à émerger.

Mais en fait,
elle est extrêmement récente,

puisque le modèle probabiliste tel qu'on
va le présenter dans ce cours en fait,

a été introduit par Kolmogorov en 1933,
donc c'est assez récent.

Et, le calcul,
ce qu'on appelle le calcul stochastique,

qui est le calcul intégral lié à ce
mouvement brownien, dont je vous ai parlé

tout à l'heure, et qui n'est pas
l'objectif, enfin l'objet du cours ici,

ce calcul stochastique en fait
a été introduit en fait par Itô,

après la Deuxième Guerre mondiale,
donc à partir d'environ 1945.

Donc, c'est lui qui est
en fait à la base de

toute l'approche moderne des probabilités.

Donc, en fait vous voyez que le grand
essor des probabilités modernes

n'intervient qu'à la deuxième
moitié du XXe siècle.

Et, les outils en fait théoriques se
développent jusque dans les années,

fin des années 90, disons.

Donc, depuis que ces outils ont été
construits, en fait il y a un très grand

développement des théories probabilistes,
à la fois dans des domaines mathématiques,

et des domaines d'application
extrêmement variés.

Donc, je vais vous en citer quelques uns.

Par exemple, on a beaucoup de
modélisation probabiliste en physique,

à travers la physique quantique,
la physique des particules.

On utilise énormément d'outils
probabilistes dans l'informatique

et dans tout ce qui est
réseaux de télécommunications,

réseaux Internet,
en traitement du signal et de la parole.

Bon, depuis assez récemment on a beaucoup
de développement utilisant des modèles

probabilistes en biologie, en écologie,
en médecine, et en imagerie médicale.

Quand vous avez de la
reconstruction d'image, scanner,

etc, il y a beaucoup de
probabilité derrière.

En économie, en finance,
vous avez tous je pense entendu parler des

mathématiques financières qui ont été
développées dans les dix dernières années.

En assurance, comme je vous l'ai dit,
et même en sociologie,

donc a beaucoup de modèles probabilistes.

Donc, comme vous le voyez,

ces probabilités sont en lien très
étroit avec la vie quotidienne.

Et, les domaines que je vous ai présenté
juste avant sont extrêmement variés.

Donc, en fait vous allez rencontrer
des situations innombrables où le

hasard intervient et qui sont de
natures extrêmement différentes.

Donc, pour essayer de construire
une théorie mathématique qui

prend en compte toutes ces situations
possibles, eh bien, il va falloir

se donner un cadre très abstrait qui
va pouvoir englober tous ces modèles.

Donc, c'est pour cela aussi que ce
modèle probabiliste a mis du temps.

Je vous ai dit, Kolmogorov c'est 1933,
donc ce modèle probabiliste a mis du temps

à émerger, parce qu'il était
nécessairement très abstrait, et donc les

mathématiques sous-jacentes étaient, sont
quand même des mathématiques difficiles.

Donc cela, ce modèle probabiliste,

la construction de ce modèle va être
l'objet essentiellement du cours 1.

Et ensuite, on va voir des tas de
développements à partir de ce modèle.

Alors, cela c'est le point de vue,

disons abstraction mathématique
du modèle probabiliste.

Un deuxième point que je voudrais
souligner, c'est que les probabilités sont

beaucoup utilisées à des fins numériques,
à travers ce qu'on appelle les méthodes de

Monte-Carlo, dont on parlera dans les
derniers cours, et qui sont des méthodes

d'expérimentation numérique basées
sur la modélisation probabiliste.

Ces méthodes sont efficaces quand on
étudie les problèmes en grande dimension.

Je vous ai donné quelques
exemples en météorologie,

dans l'aérospatial,
dans les mathématiques financières,

et elles sont très efficaces,
parce qu'elles sont extrêmement rapides.

Par exemple, dans les salles de marchés,
on a besoin d'avoir la simulation

quasiment en temps réel,
et on utilise les méthodes de Monte-Carlo,

donc des méthodes basées sur
des outils probabilistes,

plutôt que des méthodes d'expérimentation
numérique déterministe.

Et, elle permettent également de simuler
des phénomènes extrêmement irréguliers.

Donc, ce que je voudrais vraiment vous
dire, c'est que le but de ce cours,

c'est de vous donner une approche

élémentaire mais rigoureuse
de la théorie probabiliste.

On essaiera d'être le plus rigoureux
possible et je voudrais aussi vous

illustrer les résultats qu'on obtiendra,
par un certain nombre de simulations.

Simulations qui vont être interactives,
vous allez pouvoir jouer avec ces

simulations pour essayer de comprendre ce
que c'est vraiment un phénomène aléatoire.

Et je voudrais vraiment
qu'à travers ce cours,

et à travers la découverte des
probabilités, nous puissions vous

transmettre un peu l'idée de la démarche
d'un mathématicien appliqué, qui se trouve

face à un problème concret, et qui doit
donner des réponses quantitatives ou

phénoménologiques à partir
de ce modèle concret.

La démarche du mathématicien appliqué,
eh bien c'est quoi?

Eh bien, c'est premièrement,
transformer le problème concret

en un problème mathématique, ce qu'on
appelle une mise en équation du problème.

Deuxièmement, essayer de résoudre
ou résoudre au moins en partie

le problème théorique lié
au modèle mathématique.

Et troisièmement, essayer de développer
une expérimentation numérique qui va

permettre de visualiser en
fait le modèle théorique, ou

de quantifier, de répondre à des questions
quantitatives sur le problème concret.

Donc, cette expérimentation numérique
va pouvoir aider à faire des calculs,

ou donner des valeurs approchées,
en tous cas,

de certaines quantités que le
mathématicien appliqué souhaite calculer.

Donc, démarche de mathématiques
appliquées, modélisation,

résolution théorique et
expérimentation numérique.