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[AUDIO_VIDE] Bonjour et bienvenue
à ce MOOC de thermodynamique.

[AUDIO_VIDE] Dans cette leçon,

on va définir les notions
fondamentales en thermodynamique,

que sont, le travail,
la chaleur et l'énergie interne.

On verra que l'énergie interne
est une fonction d'état.

On établira ensuite un
bilan d'énergie interne.

Et pour terminer,

on va considérer un exemple d'application
de tout ce qu'on a vu jusqu'à maintenant,

qui est l'oscillateur harmonique amorti,
dans un fluide.

On va le considérer dans une
approche thermodynamique.

Commençons donc par le travail et la
chaleur ; et on va définir les grandeurs

infinitésimales de travail et de chaleur.

Pour ceci on va se baser
sur le premier principe,

exprimé dans le référentiel
où le système est au repos.

Dans ce référentiel, le premier
principe nous dit la chose suivante.

La dérivée par rapport au temps
de l'énergie interne, du point,

est la somme de deux puissances.

La puissante mécanique de déformation,
PW, et la puissance thermique, PQ.

On peut maintenant multiplier

cette relation par un intervalle
de temps infinitésimal, dt.

Et on obtient donc, U point dt,
égale, PW dt, plus, PQ dt.

On peut définir la variation
infinitésimale d'énergie interne,

c'est une différentielle, c'est,
dU ; dU peut aussi s'écrire comme,

dU sur dt, fois dt ; dU sur dt,
c'est U point.

Et donc, dU s'écrit comme, U point dt.

On peut introduire maintenant

le travail infinitésimal effectué sur
le système, qu'on va dénoter, delta W.

La lettre W vient de l'allemand,
Werk, ou l'anglais, work,

et le symbole delta signifie qu'il
ne s'agit pas d'une différentielle.

Le travail infinitésimal effectué
sur le système, delta W, est défini

comme le produit de la puissance
mécanique de déformation,

PW, fois l'intervalle de
temps infinitésimal, dt.

De manière similaire on peut définir la
chaleur infinitésimale fournie au système.

On la dénote, delta Q, le,
Q, se réfère à l'allemand,

Quelle, qui signifie en français source,
source de chaleur, et le delta

signifie que la chaleur infinitésimale
n'est pas une différentielle.

On définit cette chaleur
infinitésimale fournie au système,

delta Q, comme le produit
de la puissance thermique,

PQ, fois l'intervalle de
temps infinitésimal, dt.

Fort de ces trois définitions,
on peut à présent réécrire

l'expression du premier principe
multiplié par le temps infinitésimal, dt.

Et on obtient le bilan
infinitésimal d'énergie interne.

Qui nous dit que la
différentielle d'énergie interne,

dU, est la somme du travail
infinitésimal effectué sur le système,

delta W, et de la chaleur infinitésimale
fournie au système, delta Q.

[AUDIO_VIDE] On veut maintenant
déterminer le travail et la chaleur

pour un processus, qui n'est pas
nécessairement un processus infinitésimal

; pour un processus quelconque, qui va
de l'état initial, i, à l'état final, f.

Pour obtenir ce travail et cette chaleur,
on va devoir intégrer l'équation

de bilan infinitésimal d'énergie interne,
de l'état initial, i, à l'état final, f.

Commençons par la variation d'énergie
interne entre ces deux états.

On la dénote, delta U, i, f.

C'est l'intégrale de la différentielle
de l'énergie interne, dU,

et donc elle va simplement être
égale à l'énergie interne finale,

U f, moins l'énergie interne initiale,
U i.

Le travail qui est effectué durant
ce processus, on le dénote, W, i, f.

Il est égal à l'intégrale de
l'état initial, i, à l'état final,

f, du travail infinitésimal
effectué sur le système, delta W.

Ce travail infinitésimal,
on l'a défini précédemment

; il est égal au produit de la
puissance mécanique de déformation, PW,

fois l'intervalle de temps infinitésimal,
dt.

On peut maintenant définir la chaleur
fournie au système durant ce processus.

On la dénote, Q, i, f.

C'est l'intégrale de l'état initial,
i, à l'état final,

f, de la chaleur infinitésimale
fournie au système, delta Q.

Qu'on a définie comme étant le
produit de la puissance thermique,

PQ, fois l'intervalle de
temps infinitésimal, dt.

Qu'on intègre du temps initial,
t i, au temps final, t f.

À l'aide de ces trois définitions,

on est maintenant en mesure d'énoncer
le bilan d'énergie interne,

durant le processus qui va de l'état
initial, i, à l'état final, f.

Ce bilan d'énergie interne est
énoncé de la manière suivante.

La variation d'énergie interne
du système durant ce processus,

delta U, i, f, est égale à la
somme du travail effectué, W, i,

f, et de la chaleur fournie, Q, i, f.

L'énergie interne est une fonction d'état.

Contrairement au travail et à la chaleur.

Pour le comprendre,
on va considérer deux processus,

qui vont d'un état initial,
i, à un état final, f.

La variation d'énergie interne
durant ces processus, delta U, i, f,

dépend uniquement de l'état final,
f, et de l'état initial, i.

C'est l'énergie interne de l'état final,
moins l'énergie interne de l'état initial.

Par conséquent,

cette variation d'énergie interne est
indépendante du processus choisi.

Qu'on prenne le processus 1,
ou le processus 2,

on aura exactement la même
variation d'énergie interne.

Vu qu'elle dépend uniquement de l'état,

et pas du processus,
l'énergie interne est une fonction d'état.

Ceci n'est pas le cas pour le travail
effectué et la chaleur fournie.

Le travail effectué lors du
premier processus, W, i, f, 1,

n'est en général pas le même du travail
effectué durant le deuxième processus,

W, i, f, 2.

On a exactement le même constat
pour la chaleur fournie.

La chaleur fournie durant le premier
processus, Q, i, f, 1, n'est en général

pas la même que la chaleur fournie durant
le deuxième processus, Q, i, f, 2.

Donc le travail et la chaleur dépendent
du processus, et pas seulement de l'état.

Par conséquent, ces grandeurs ne
sont pas des fonctions d'état.

Ceci est un résultat important.

À présent,
on veut déterminer le bilan d'énergie

interne à l'aide des
variables d'état du système.

Donc on va explicitement calculer la
dérivée temporelle de l'énergie interne.

L'énergie interne, qui est une fonction
des variables internes, X 0, X 1,

jusqu'à X n.

La dérivée temporelle de
l'énergie interne s'écrit

comme la dérivée partielle de U, par
rapport à la variable X i, fois X i point.

Et puis on prend ensuite la somme
sur toutes les variables internes.

C'est-à-dire qu'on va sommer l'indice i,
de zéro à n.

On peut introduire ensuite les
grandeurs intensives qui sont

conjuguées aux variables
extensives d'état.

La variable, Y i, est la variable
conjuguée à la variable, X i.

Elle est fonction de toutes
les variables d'état,

c'est-à-dire qu'elle est fonction de X 0,
X 1, jusqu'à X n.

On la définit comme la dérivée
partielle de U, par rapport à, X i.

En utilisant cette définition,
on peut réécrire la dérivée temporelle de

l'énergie interne, U point, comme la somme
de, i égale zéro à n, de, Y i, X i point.

Ce qui nous permet d'obtenir
un bilan d'énergie interne

qui s'exprime en fonction des
variables d'état du système.

C'est la somme de, i égale,
zéro à n, de, Y i, X i point.

Qui est égal à PW,

plus PQ.

On va à présent considérer un exemple
qui est tiré de la mécanique,

et qu'on va aborder dans
un cadre thermodynamique.

Il s'agit de l'oscillateur
harmonique amorti.

Cet oscillateur harmonique amorti est
constitué d'un point matériel de masse M,

qui est attaché à un ressort de longueur
à vide nulle et de constante élastique k.

Cet oscillateur harmonique se
trouve dans un fluide visqueux,

et l'ensemble de ce système est isolé.

Pour décrire ce système, il faut d'abord
choisir les variables d'état appropriées.

En mécanique, pour décrire la dynamique
d'un oscillateur harmonique amorti,

on a besoin de 2 variables, la quantité
de mouvement P et la position r.

En mécanique,
pour un oscillateur harmonique amorti,

l'énergie mécanique décroît au cours
du temps, puisqu'il y a dissipation.

Or ici, le système est isolé, ce qui
signifie que l'énergie est constante

par application du premier principe.

Par conséquent,
il doit exister une autre forme d'énergie

qui va croître au cours du temps, pour
compenser la perte d'énergie mécanique.

Cette autre forme d'énergie va dépendre

d'une variable qui n'est pas une variable
associée au mouvement du point matériel.

Cette autre variable extensive, dont on
ne connaît pas la nature pour l'instant

et qu'on va essayer d'identifier à la fin
de cet exemple, c'est la variable X0,

on la dénote X0.

L'énergie de cet oscillateur harmonique,
qui est une fonction d'état, donc

fonction des variables d'état P, r et X0,
elle est constituée de 2 contributions.

La première, c'est P carré sur 2M,
c'est l'énergie cinétique.

La deuxième, c'est U de r et X0,
c'est l'énergie interne.

Cette énergie interne est elle-même
constituée de 2 contributions,

on a d'abord une énergie
potentielle élastique, Phi de r,

qui est égal à un demi de k r carré,
c'est un résultat bien connu de mécanique,

et puis on a ensuite une autre
contribution qui est U de 0, X0, donc

cette contribution dépend essentiellement
de cette autre variable X0.

Le système étant isolé, par application
du premier principe, l'énergie est

une constante, donc la dérivée par rapport
au temps de l'énergie, E point, est nulle.

Cette dérivée temporelle de l'énergie,
on peut la développer

puisque l'énergie est une fonction d'état
qui dépend de la quantité de mouvement,

de la position r et de la variable X0.

E point est donc constitué de 3 termes.

Le premier terme, c'est la dérivée de
l'énergie par rapport à la quantité de

mouvement, c'est-à-dire la vitesse,
produit scalaire

avec la dérivée par rapport au temps
de la quantité de mouvement P.

Le deuxième terme, c'est la dérivée
partielle de l'énergie par rapport

à la position r qui est
égale à la dérivée partielle

d'énergie interne par rapport à la
position r, produit scalaire avec r point.

Le troisième terme,

c'est la dérivée partielle de
l'énergie par rapport à X0 qui

est égale à la dérivée partielle d'énergie
interne par rapport à X0 fois X0 point.

On peut maintenant examiner, d'un peu
plus près, les dérivées partielles

qui apparaissent dans cette expression
de la dérivée temporelle de l'énergie.

Tout d'abord,
la dérivée partielle de l'énergie interne

par rapport à la position est
égale à la dérivée totale

de l'énergie potentielle élastique,
Phi de r, par rapport à la position r.

L'énergie potentielle élastique,
c'est un demi de k r carré.

On peut mettre le facteur un demi
et le facteur k en évidence,

il nous reste la dérivée de r carré par
rapport à r, qui vaut tout simplement 2 r.

Le facteur un demi et le facteur 2 se
simplifient, il nous reste donc k r.

Et puis, d'après la convention d'écriture
qu'on a choisie, la grandeur intensive

Y0 est la grandeur conjuguée
à la grandeur extensive,

qui est une variable d'état qui est X0.

De plus, en utilisant le fait que la
vitesse est la dérivée temporelle de la

position, on peut réécrire l'expression
de la dérivée temporelle de l'énergie,

qui est nulle puisque le système
est isolé, sous la forme suivante,

c'est P point plus k r produit
scalaire avec la vitesse

+ Y0 X0 point égal 0.

Afin de détailler cette équation
de bilan d'énergie, on doit à

présent considérer le sous-système
mécanique, constitué du point matériel.

Ce sous-système mécanique est
sujet à des forces extérieures.

Ces forces extérieures sont la
force élastique, qui est moins kr,

où k est défini positif,
c'est la constante de rappel du ressort,

c'est également la force de frottement
visqueux, qui est de la forme moins

lambda v, où lambda est défini positif,
on est ici en régime laminaire.

Il est important de mentionner que ces
forces sont des forces extérieures

au sous-système mécanique,

même si c'est des forces intérieures
au système thermodynamique.

Mais, ici, pour appliquer la deuxième loi
de Newton, qui est le théorème de centre

de masse appliqué à un point matériel, on
considère que ces forces s'appliquent sous

le sous-système mécanique, elles sont donc
considérées comme des forces extérieures.

La deuxième loi de Newton dit la chose
suivante, la dérivée temporelle de la

quantité de mouvement, P point, est
égale à la somme des forces extérieures,

c'est-à-dire la force élastique, moins kr,
et la force de frottement, moins lambda v.

On substitue donc cette
expression de P point dans

l'expression du bilan d'énergie.

Le terme en moins kr se
simplifie avec le terme en kr,

et puis, il nous reste un
terme en moins lambda v carré.

Ce terme en moins lambda v carré, on
peut le passer dans le membre de droite,

et ensuite,
on peut diviser l'équation par Y0.

Et ce qu'on obtient, c'est une équation
d'évolution de la variable X0,

qui est de la forme suivante : X0 point
est égal à lambda v carré sur Y0.

Compte tenu du fait que
la force de frottement

est définie comme moins lambda v,
on obtient donc moins

le produit scalaire de la force de
frottement avec la vitesse divisé par Y0.

De la mécanique, on sait que le produit
scalaire de la force de frottement

avec la vitesse,
c'est la puissance dissipée,

la puissance mécanique dissipée
à l'intérieur du système.

S'il y a dissipation,
ça veut dire qu'il y a échauffement.

Donc, le système intuitivement
devrait dépendre de la température.

La température est une grandeur intensive.

On a ici dans cette équation, une
grandeur intensive qu'on ne connaît pas.

Cette grandeur intensive,
c'est la grandeur Y0.

Eh bien,
on verra dans la suite de ce cours que

Y0 est précisément la température.

Y0 est la température,
et la variable extensive conjuguée à Y0,

c'est ce que l'on appelle,
en thermodynamique, l'entropie.

Comme Y0, qui est la température, est
défini positif, que lambda est positif et

que v carré est positif, ceci implique
que X0 point est défini positif.

En d'autres termes, l'entropie va
croître dans ce système isolé,

à cause de la dissipation.

Et ceci est au coeur du deuxième principe

de la thermodynamique,
qu'on va aborder dans la leçon prochaine.

Suite, donc, au prochain épisode.

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